Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng thông thường

• (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²
• Chứng minh: (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)² ↔ (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)² ≥ (ac)² + 2abcd + (bd)² ↔ (ad)² + (bc)² ≥ 2abcd ↔ (ad)² - 2abcd + (bc)² ≥ 0 ↔ (ad - bc)² ≥ 0
• Dấu " = " xảy ra khi a c = b d {\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}}

Để dễ dàng chứng minh ta thường đưa về dạng hai vecto có tọa độ trong mặt phẳng Oxy rồi áp dụng công thức như trên.

Bất đẳng thức Bunyakovsky cho 2 bộ số

• Với hai bộ số ( a 1 ; a 2 ; . . . ; a n ) {\displaystyle (a_{1};a_{2};...;a_{n})} và ( b 1 ; b 2 ; . . . ; b n ) {\textstyle (b_{1};b_{2};...;b_{n})} ta có:

( a 1 2 + a 2 2 + . . . + a n 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + . . . + b n 2 ) ≥ ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n ) 2 {\displaystyle \left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2}\right)\geq \left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}\right)^{2}}

• Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a 1 b 1 = a 2 b 2 = . . . = a n b n {\displaystyle {\frac {a_{1}}{b_{1}}}={\frac {a_{2}}{b_{2}}}=...={\frac {a_{n}}{b_{n}}}} với quy ước nếu một số b i {\displaystyle b_{i}} nào đó (i = 1, 2, 3,..., n) bằng 0 thì a i {\displaystyle a_{i}} tương ứng bằng 0.